Cevap:12
Kardeşim bu sorunun açılımından çok küpkök5 ifadesinin alacağı üstlerden sonra kökten kurtulup kurtulmayacağı bizim için önemli.
"Küpkök5" ifadesini "5 üzeri 1/3" olarakda yazabiliyoruz. 5 kökten kurtulursa rasyonel değil kurtulamazsa rasyonel sayacağız ,çünkü kök dışına tam sayı olarak çıkamaz.
Şimdi hangi üstler geldiğinde bu ifade kökten kurtulur ona bakalım: bu ifadeye gelecek olan üstler 5 in üstü olan 1/3 ile çarpılıp 5 in üstü olarak yazılır. Yani gelecek olan üst üçün katlarından biriyse 3 ile sadeleşecek ve ifade de kökten kurtulacaktır. 3 ün katları olmayanlar da ifadeyi rasyonel yapacaktır ve soruda da kaç ifadenin rasyonel kalacağı soruluyor.
Binom açılımına bakarsan 18. derecenin açılımında 19 terim olduğunu görürsün. Önce ifadenin üstü olan 3 ün katlarını yazalım:
18, 15, 12, 9, 6 ve 3 olmak üzere 6 tane 3 ün katı vardır ama en sonunda ifadenin üstüne 0(sıfır) gelecek ve buda sayıyı direk 1 yapıp rasyonellikten kurtaracaktır. Toplamda 6 tane 3 ün katından 1 tanede 0 dan olmak üzere 7 tane rasyonel olmayan ifademiz var, toplamda 19 terim vardı bunların 7 si rasyonel değil. Böylece soruda ki açılımda 12 tane rasyonel ifade vardır.
Kalın yazıyla yazılmış bölümü resimle tekrar anlatayım:
